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Ren様

リファレンスを見ると、POSTは作成のAPIで、更新の処理はPUT、削除はDELETEで行えます。
そのため、1〜3で確認された通り、それぞれで使い分ける感じになるかと思います。
(作成や削除もデータ的には「更新」となりますが、API的にはそれぞれPOST, PUT, DELETEで処理します)

支払行の操作については、paymentsで作成・更新・削除が行えます。

FYI

paymentsについてはこちらも参考になるかもしれません

取引における決済状況の更新について

また、既に作られているかもしれませんが、
実際に運用している環境で実行する前に、開発環境を作って試すと運用中のデータに影響せず試せるためおすすめです。

開発用テスト環境について
https://app.secure.freee.co.jp/developers/demo_companies/description

 

補足

ちなみに、取引関係のAPIは以下のような種類があるため、それぞれで試してみると理解が深まるかと思います。

Deals 取引(収入/支出)
/api/1/deals

Payments 取引の支払行
/api/1/deals/{id}/payments

Renews 取引の+更新
/api/1/deals/{id}/renews/