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リファレンスを見ると、月次推移のエンドポイントが用意されていないみたいなので、ウェブアプリの月次推移と全く同じ形での取得はできないと思います。

ただ、手元の環境で試したところ、「損益計算書(前年比較)の取得」や「損益計算書(3期間比較)の取得」のエンドポイントに対して、「start_month」と「end_month」を同じ月にすることで、「fiscal_year」で指定した会計年度の前年・前々年の、月の値を取得できました。

具体的には、例えば「損益計算書(3期間比較)の取得」で、会計年度2021年の1月であれば、下記を試しています。
https://api.freee.co.jp/api/1/reports/trial_pl_three_years?company_id=○○&fiscal_year=2021&start_month=1&end_month=1

これで、「two_years_before_closing_balance」、「last_year_closing_balance」の値として、前々年・前年の1月の値を取得できたので、これを12ヶ月分実行して取得する形だといかがでしょうか?